前言

這幾天的文章會是一系列的，會需要一起看才比較能看懂整個ML模型的輪廓，
然而因為一天能寫的內容量有限，所以我會在前言部分稍微說明我寫到哪。

複習一下ML的整個訓練過程

因為ML模型的訓練階段章節內容會分很多部分，我們要先確認好自己在哪個階段，
以免吸收新內容卻不知道用在內容的什麼地方。

★ML的整個「訓練過程」：這裡以監督式學習(Supervised Learning)為例

而今天的文章我們就要來介紹所謂的損失函數(Loss Functions)的概念。

Course - Launching into Machine Learning

第三章節的課程地圖：(紅字標記為本篇文章中會介紹到的章節)

• Optimization
  • Introduction to Optimization
    • Introduction
  • Defining ML Models
    • Defining ML Models
    • Introducing the Natality Dataset
  • Introducing Loss Functions
  • Gradient Descent
    • Gradient Descent
    • Troubleshooting a Loss Curve
    • ML Model Pitfalls
  • TensorFlow Playground
    • Lab: Introducing the TensorFlow Playground
    • Lab: TensorFlow Playground - Advanced
    • Lab: Practicing with Neural Networks
    • Loss Curve Troubleshooting
  • Performance Metrics
    • Performance Metrics
    • Confusion Matrix
  • Module Quiz

1. Introducing Loss Functions

課程地圖

• Optimization
  • Introducing Loss Functions

在前面的章節中，我們定義的ML模型內的參數 parameters 與 hyperparameters，
並介紹了 linear models 裡面的 parameters 大概會做什麼運算。

然後我們就要討論如何去最佳化這些在ML模型中的parameters，

在【Day 19】 中，我們曾經提過在數據集不大時，可以使用的統計方法。

後來我們提到可以在參數空間(parameter space)試著搜尋最佳參數，
但要「比較每個參數的好壞」，我們會需要一個「判定的準則」。

今天我們就是要來細講這個「判定的準則」，
我們稱這個準則為損失函數(loss functions)，
這個函數就是用來幫助依照現在ML模型(裡面參數parameters)的預測結果，
做好壞的評估，並且他會以「數值化」的方式告訴我們有多好/壞。

1.1 regression problems(回歸問題) 的損失函數

我們將目前所預測的值(prediction)與真實數據(label)直接比較差多少，
我們稱之為「誤差(error)」，我們可參考上圖。

但在每次訓練中，我們有非常多組參考資料(example)，
我們會得到一堆誤差(error)，
我們需要去思考該怎麼組合這些數據。

• 最簡單的方法，就是直接加總，例如使用sum。

然而，我們想一個問題，如果直接加總的話，正值與負值會被抵銷，
例如誤差組合：(+100,-100)與(0,0)，sum值相同，但代表意義相同?!
顯然，這方法存在問題。

因此，為了解決上述問題，我們應該要找一個更具代表性的
能象徵我們預測的值(prediction)與真實數據(label)的算法，
而這算法不會使得「誤差(error)」之間相互抵消。

• 那「誤差(error)」的絕對值之和呢?
  google只有提到會有問題，沒關係我自己來補充註：

這方法稱作MAE(Mean absolute error) - 平均絕對值誤差，這方法是合理的，
但會有「在等於0時」不可微分的問題(這個可以自己畫圖或看以下參考資料)
不可微分會有什麼問題? 簡單來說，我們會沒辦法透過微分決定ML模型的修正方向。
但完全不能使用嗎? 倒也不完全是不能用，他有它的長處，但這邊再談下去就太多了，
★就留個可參考的資料給有興趣的人：機器/深度學習: 基礎介紹-損失函數(loss function)

• 我們常用的方法：MSE(Mean Squared Error)

MSE(Mean Squared Error)的算法是從我們的所有數據中，

1. 拿預測的值(predictd value)與真實數據(labeled value)相減
2. 所有的相減值皆平方(避免誤差正負相消)，並取總和
3. 再除以總數量平均

MSE方法計算結果是很值得參考的，確實很適合作為我們的 loss function。

但MSE方法仍然有個小問題，在「單位的解釋」上我們有點難以解釋數據。

例1：計算「體重」誤差，請問「公斤的平方」意義是?
例2：計算「金錢」誤差，請問「美元的平方」意義是?

因此，我們會採用MSE(Mean Squared Error)的平方根，

• 用 RMSE(Root Mean Squared Error) 以獲得我們能解釋的單位。

自己的註：

注意：MSE(Mean Squared Error)在「數值」上仍然具有誤差代表性，並非不能使用。
而使用RMSE(Root Mean Squared Error)只是更能解釋「數值」量的意義(因為有單位)。

(RMSE的算法，少做開根號的動作即為MSE。)
(圖中ŷ表示我們預測的值(predictd value)、y表示真實數據(labeled value))

當RMSE(Root Mean Squared Error)的數值越大，同時也能表示我們預測的表現越差。
所以訓練我們要做的事情就是「最小化RMSE(Root Mean Squared Error)」。

現在我們找到了一個方法，能幫助我們在參數空間(parameter space)中衡量參數(parameter)的好壞。

記得：參數(parameter)使用於我們的ML模型中，也就是我們線性模型(linear model)中的參數。

我們稍微比較上面的的兩張圖，這是兩張散佈圖(資料集為【Day 19】的嬰兒資料)，
我們只看39歲以上的母親並畫上回歸線，
視覺上我們非常難看出哪條線畫的比較好。
這就是為何我們要決定我們的損失函數(loss functions)，
他可以數值化且具體的指出哪一條線比較好，
於是我們使用我們剛剛決定的損失函數(loss functions)：RMSE(Root Mean Squared Error)

我們發現左邊的模型目前的RMSE值為145、右邊的模型目前的RMSE值為149，
因此，透過損失函數(loss functions)我們知道左側的「目前模型訓練的結果比較好」。

「目前模型訓練的結果比較好」：表示有較好的weight與bias。

1.2 classification problems(分類問題) 的損失函數

(用RMSE預測分類問題的結果。下方內容有圖片解釋。)

但我們發現有個問題：RMSE作為損失函數(loss functions)，
在線性回歸問題(linear regression problems)的表現很好，
在分類問題(classification problems)似乎不行。

我們先回到分類問題的本身，還記得當初我們定義的分類問題，
他的結果是將目標分類。也就是我們的label會是一個「類別」而「非連續數」。
我們拿之前提到的編碼(encode)為例，
透過編碼(encode)，我們能將我們預測的類別以「0或1」的方式表示。

我們回來解釋上方的圖，

• X軸表示我們的預測結果(prediction)
• Y軸表示(loss)，表示預測值(prediction)與實際值(label)的RMSE誤差
• 藍色為預測結果是0所畫出來的線
• 綠色為預測結果是1所畫出來的線

這曲線出了什麼問題呢?

我們可以看見當目標target(label)為0時，預測結果1的比預測結果0.5的糟糕三倍

這邊比較難懂，自己稍微補充解釋一下：

例如明明是正確結果是0，我們預測1，loss自然就是全錯 = 1
明明是正確結果是0，我們預測0，loss自然就是全對 = 0
明明是正確結果是0，我們預測0.5，loss是「算誤差總共的RMSE」約等於 0.3
(很多的「0.5-0」然後平方、除總數、開根)
這也是為什麼明明是正確結果是1，我們預測0.5，loss是也等於 0.3
因為也是(很多的「0.5-1」然後平方、除總數、開根)，一樣吧！

這結果說明了什麼? 有些糟糕的預測應該有更強的懲罰，而且這預測完全不夠直覺。
所以證明我們會需要一個新的損失函數(loss functions)，
針對我們的classification problems(分類問題)能夠有更直覺的懲罰。

(自己的註：「直覺的懲罰」的概念要比較下圖比較好懂，下面會解釋。)

交叉熵(Cross Entropy)是最常使用於分類問題的損失函數(loss functions)。

交叉熵(Cross Entropy)又有個別名log loss

上圖我們做一個與用「RMSE預測分類問題」的結果類似的圖，
我們使用交叉熵(Cross Entropy)做為新的損失函數(loss functions)。

特別注意：圖中顯示交叉熵(Cross Entropy)會強烈處罰錯誤的預測。

這邊比較難懂，自己稍微補充解釋一下：

與上圖比較中，如果以藍線來說(真實label為1)，預測結果如果是0，
看藍色取線的左側，套一句【Day 17】的內容，有沒有一種預測錯就非常完蛋的感覺?
與上面RMSE相比，處罰嚴重太多了，分類問題正是需要在分類錯誤時有最嚴重的懲罰，
我之前所說的「分類正確沒事，分類錯誤非常完蛋!!! 只要有分錯邊，誤差瘋狂上升」，正是類似這樣的概念~。

• 我們再拿我之前【Day 17】做的表格看一下、順便複習一下吧：

★ 均方差(mean squared error) 與 交叉熵(cross-entropy) 的比較★

完整內容請參考：【Day 17】 Google ML - Lesson 3 - 多維度線性回歸解(N-D Regression), 交叉熵(cross-entropy)與均方差(MSE) 作為誤差函數計算所帶來的不同

我們下面來舉一個實際的例子。

上面這個就是交叉熵(Cross Entropy)的公式，
簡單拆解一下我們可以說分成「兩大terms」，
有趣的是這個公式每次「只會有一個term」有反應。

自己的註：「反應」等於「會產生loss的值」

• Positive term：當結果是1時有反應。
• Negative term：當結果是0時有反應。

你問為什麼嗎? 自己的註：

因為「0乘任何東西都是0，在Positive term出現0相乘就沒反應了。」
然後也是因為「0乘任何東西都是0，在Negative term出現1相乘就沒反應了(因為1-1=0)。」

這裡我們有一張表，正是一個圖片分類的問題，它秀出兩種已經被encode的labels，

這裡的encode方法為「有人臉的為1，沒有人臉的為0」

並且有我們的預測結果(predictions)與實際結果(label)，看目前預測的結果似乎不錯。

我們先看上方的example，因為它真的是人臉，所以label=1，
而我們預測0.7，我們發現後面的Negative term消失了(因為1-1=0)，
而只剩下 Positive term 提供 loss。

我們在看下方的example，因為它不是人臉，所以label=0，
而我們預測0.7，我們發現前面的Positive term消失了(因為0乘任何東西都0)，
而只剩下 Negative term 提供 loss。

稍微計算一下結果，我們得到的Cross Entropy Loss = 0.13
似乎是不錯的數值，顯示我們的模型結果不錯，然而我們來做個比較會更明顯。

如果我們的模型沒有訓練好(做出好的預測)，結果會是多少?

我們將下方的預測結果改為 0.8，也表示著下方結果目前是被錯誤預測(分類)的，
我們計算Cross Entropy Loss = 0.42，Loss有增加，
別忘了我們的訓練目標是要將「最小化Loss」，
所以確實增加的Loss不是接近我們要的訓練結果。

因此，上面介紹的方法就是我們如何在參數空間(parameter space)中比較參數的好壞，

自己再註一下：參數(parameter)指的就是 weight 與 bias

不論是使用 RMSE(Root Mean Squared Error) 作為回歸問題的Loss Functions，
或是使用 交叉熵(Cross Entropy) 作為分類問題的Loss Functions，
要記住我們的目標是找出最佳的參數，Loss Functions是我們參考好壞的依據，

但知道如何衡量好壞後，接下來我們要講的是如何去尋找這些點?
這個我們會在下一章梯度下降法 (Gradient Descent)提到。

參考資料

• coursera - Launching into Machine Learning 課程

• medium - 機器/深度學習: 基礎介紹-損失函數(loss function)

• medium - Understanding binary cross-entropy / log loss: a visual explanation

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